等差乘等比类型数列求前n项和，是否都适用错位求差法？

最近老黄分享了两道等差乘等比类型数列求前n项和的例题，图文作品中运用了两种方法，视频作品中运用了三种方法。有兴趣的小伙伴可以翻看老黄这几天的作品，就可以看到了。其中第三种方法非常好用，就是错位求差法的应用。这是老黄前两天才从高手那里偷师学到的方法。当然，这都是老黄太笨造成的，否则早该知道了。

对于求数列{(a1+(n-1)d)b1q^(n-1)}前n项和Tn，是否都适用错位求差法呢？这个数列是由等差数列an=a1+(n-1)d和等比数列b1q^(n-1)相乘得到的。比如数列n/2^n，或(n-1)/2^(n+1)，都是这个类型的数列。

显然这个数列可以拆分成两部分：a1b1q^(n-1)和(n-1)db1q^(n-1)的和，而前面部分是等比数列，因此我们可以只探究后面部分的前n项和。又db1是常数，在求前n项和时，可以当作公因数提取出来，所以实际上只要求数列｛(n-1)q^(n-1)｝的前n项和就可以了。而这个数列的第一项等于0，所以实际上是求nq^n的前n项和，记为Sn。

即Sn=q+2q^2+3q^3+……+nq^n, 根据错位求差法的思想，我们可以列

qSn=q^2+2q^3+3q^4+……+nq^(n+1)，然后用Sn-qSn，就得到

(1-q)Sn=q+(2q^2-q^2)+(3q^3-2q^3)+……+(nq^n-(n-1)q^n)-nq^(n+1)

=q+q^2+q^3+……+q^n-nq^(n+1)【除了最后一项，其它的项就是等比数列q^n的前n项和】

=q(1-q^n)/(1-q)-nq^(n+1).

所以Sn=q(1-q^n)/(1-q)^2-nq^(n+1)/(1-q). 可以把这个式子看作一个公式。

可见错位求差法是适用一切等差乘等比类型的数列的。最后用这个方法求数列{n/2^(n-1)}的前n项和Sn. 这个数列是由等差数列n乘以等比数列1/2^(n-1)形成的，适用错位求差法。

解：Sn=1+2/2+3/2^2+4/2^3+……+n/2^(n-1),

Sn/2=1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+……+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n, 两式相减得：

Sn/2=1+(2/2-1/2)+(3/2^2-2/2^2)+(4/2^3-3/2^3)+……+(n/2^(n-1)-(n-1)/2^(n-1))-n/2^n

=1+1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1)-n/2^n=2(1-1/2^n)-n/2^n=2-2/2^n-n/2^n.

所以Sn=4-4/2^n-n/2^(n-1).

我们甚至可以直接套用上面归纳出来的公式。把数列写成{2n/2^n}的形式，对于{n/2^n}，等比数列的公比q=1/2，所以

S"n=q(1-q^n)/(1-q)^2-nq^(n+1)/(1-q)=1/2 (1-1/2^n)/(1-1/2)^2-n/(2^(n+1)/2)

=2(1-1/2^n)-n/2^n=2-2/2^n-n/2^n,

Sn=2S"n=4-4/2^n-n/2^(n-1).

你喜欢这种方法吗？无论如何，数列的问题，总是很容易出错的。比如老黄在写这个过程中，也是经过很多次修改的。一定要细心避免出错哦！

关键词： 等比数列 等差数列