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一、问题

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FC=1，则AD的长为________.

二、分析

这是最近一份卷子上遇到的一道题，15题，填空最后一道。在所有搜题APP上只能搜到与它相似的题，图形和条件都差不多，只是FC=1换成了FD平分∠BFE，本题应该是在原题的变式。

原题很简单，由角平分线可得△FBD∽△ABC，直接由相似比就可求出，本题则比原题稍微复杂了些，一个是要添加合适的辅助线，再一个因为得数是一个很复杂的分数，所以对学生的计算能力也提出了一定要求。

求线段长，通常要构造直角三角形或相似模型来求解，本题可构造直角三角形来求解，但难点在于构造的直角三角形三边均未知，需要综合两个直角三角形来求解，这就增加了解题的难度。

我们平常见的比较多的折叠问题，都是放在一个直角三角形中，已知一边和另外两边的关系，比如求AE的长我们求轻车熟路。

设AE=x，则EF=x，CE=4-x，在RT△CEF中，由勾股定理即可轻松求解。

构造直角三角形最常见的方法就是作高，如直接求AD，则过点D作AC的垂线；如通过求DF求AD，则过点D作BF的垂线。因为我们知道BF、BD+DF的长以及∠B的三角函数，所以我们选择过点D作BC的垂线。

三、解答

解：过点D作DG⊥BC于点G

在RT△ABC中，由勾股定理，得 AB=√(AC^2+BC^2)=5

由折叠知，AD=DF

∴BD+DF=5

∵∠DBG=∠ABC，∠DGB=∠ACB=90°

∴△BDG∽△BAC

设BG=3x，DG=4x，BD=5x

则DF=5-5x，GF=4-3x

在RT△DGF中，由勾股定理，得

(4x)^2+(4-3x)^2=(5-5x)^2

解得 x=9/26，5-5x=85/26

∴AD=DF=85/26

四、小结

1、通过本题，我们可以得到一个普遍的结论

已知一边一角及周长的三角形，其它边和角也可以求得。（因初中阶段只涉及锐角三角函数，所以这里的已知角为锐角）

2、变式

假如F落在BC上，其它条件不变，你能求出AE和AD的长吗

关键词： 直角三角形 勾股定理 三角函数